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打靶组合问题 打靶十次中90环的情况数 integer partition

发布时间:2019-07-03 06:13 来源:未知 编辑:admin

  一个人打10次靶(范围在0环到10环),问这10次打靶之后,共中90环的情况的个数。

  思路:直接考虑的话,会看出是一个递推问题。如果第一次打中i环,那么问题转换为9次打靶打中 90-i 环的情况数。如此递推。

  问题转化:可以把问题转化的容易一些。10次打靶如果全中靶心,就是100环。现在中90环,就是说一共缺少了10环,分摊在这10次里面。

  问题也可以转化为10个一模一样的球放到10个不同的盒子去,允许盒子为空。

  一般的整数有序分拆是这样定义的,正整数n的一个k分拆把n表示成k个正整数的和。正整数n的一个有序k-分拆,就相当于将n个无区别的球放到k个不同的盒子中,使得要求盒子都不为空。

  证明:正整数n的有序k分拆n=n1+n2+…+nk,其等价于在n个球的n-1个空隙中插入k-1个竖线。这样的方法数为C(n-1,k-1)。

  不过,对于我们现在的问题,盒子是可以为空的,也就是说拆分序列中可以有0。那么我们可以分别求存在1个0拆分、存在2个0拆分、存在3个0拆分……最多存在k-1个0拆分。把这些情况的加起来,再加上刚才求的没有0拆分的情况。就是我们现在想要的。

  有1个0拆分的问题属于“正整数n的有序k-1拆分的个数”,即C(n-1,k-2)。因为拆分是有序的,所以有C(n,1)种这样的问题。

  有2个0拆分的问题属于“正整数n的有序k-2拆分的个数”,即C(n-1,k-3)。有C(n,2)种这样的问题。

  有k-1个0拆分的问题属于“正整数n的有序1分拆(即不分拆)的个数”,即C(n-1,0)=1。有C(n,k-1)种这样的问题。

  可以记住这个结论,将n个无区别的球放到k个不同的盒子中(盒子可空),情况数为

  回到我们的问题,现在是要求10个球放到10个不同的盒子,上面的式子当n==k时,为C(2*n-1, n),所以就是C(19, 10).

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  puyuzhuo537:楼主的思路很好,不过还有优化的地方。 我们可以考虑将 较小数 所对应组的左侧 删除(楼主提供的),同时我们也可以将 较大数 所对应的右侧 删除(同时需改另一个数组的长度),搜寻下一个 k 的位置 保持和当前实现一致。 我实现了上述两个方案,仅删除 较小数 所对应组的左侧 ,在leecode 大概是 top 80%成都, 两者结合能达到 top 20%(基本上大家算法的集中位置)。

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